Üslü Sayılar

Üs Kavramı:

(a)          reel sayı ve (m) bir pozitif tamsayı olmak üzere; am  ifadesi, m tane (a) nın çarpımını gösterir.

am = a . a . a...a şeklinde gösterilir.

a bir reel sayı,   n bir pozitif tamsayı olmak üzere, n tane a sayısının çarpımı an dir.

(a ya taban,   n ye kuvvet denir.)

Örnek

3.3.3.3 = 34 = 81

(-3). (-3). (-3) = (-3)3 = -27

x  ¹ 0 olmak üzere x = 1 dir.

Örnekler:

23 = 2 . 2 . 2 =8

52 = 5 . 5 = 25

Örnek

Özellikleri:

·    Sıfırdan farklı bir sayının sıfırıncı kuvveti 1’e eşittir.

am = a0 = 1

Örnekler:  30 = 1

·    Bir sayının birinci kuvveti kendisine eşittir.

am = a1 = a

Örnekler:  21 = 2

·    Bir kesrin kuvvetini almak için pay ve paydasının ayrı ayrı kuvvetleri alınır.

( a )m = am

b         bm

Örnekler:

( 2 )5 = 25 = 32

3         35    243

·    Üslü bir ifadenin kuvveti alınırken üsler çarpılır.

(am)n = am . n

Örnekler: ( 23)2 = 23 . 2 = 26 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 64

·    a ¹ 0 reel sayı ve m bir pozitif tamsayı için;

a-m = 1

am

Örnekler: 

23  = 1   =  1

23      8

·    Bir kesrin üssü negatif ise kesir ters çevrilip üssü pozitif yapılır.

( a )-m = ( b )m

  b            a

Örnekler:  

( 2 )-3 = ( 3 )3 =27

  3           2        8

  

Negatif Kuvvet:

Bir reel sayının negatif kuvveti alındığında o sayının pozitif kuvvetinin çarpmaya göre tersi elde edilir.

Örnek

Tek veya Çift Kuvvetler:

Sıfırdan farklı bir sayının;

·    Çift kuvvetleri pozitiftir.

(-2)4 = (-2) .(-2) . (-2) . (-2) = +16

·    Tek kuvvetleri ise bu sayı ile aynı işaretlidir.

(-2)3 = (-2) .(-2) . (-2) = - 8

Üslü İfadelerde Toplama ve Çıkarma:

Tabanları ve üsleri aynı olan ifadelerin katsayıları toplanır ya da çıkarılır.

Örnek

Örnek: 3a5 –8a5  + a5 toplamının sonucu nedir?

Çözüm: a5 ’lerin bilgi yelpazesi.com katsayılarını toplayalım.

(3-8+1) a5  = 4a5

Üslü İfadelerde Çarpma:

·    Tabanları aynı üsleri farklı olan üslü ifadeler çarpılırken ortak taban, taban olarak alınır. Üsler toplanıp üs olarak yazılır.

am . an = am+n

·    Tabanları farklı üsleri aynı olan üslü ifadeler çarpılırken tabanlar çarpılıp taban olarak yazılır ortak üs, üs olarak yazılır.

am . bm = (a.b)m

·    Tabanları ve üsleri farklı molan üslü ifadeler çarpılırken, önce kuvvetler alınır sonra çarpma işlemi yapılır.

Örnek: 23 . 52 =  8 . 25 = 200

Çarpma işlemi için 2 durum vardır.

a) Tabanları aynı üsleri farklı ise aynı tabanda yazılıp üsleri toplanır.

x Î R , n, m Î Z için   xm . xn = xn   dir.

b) Tabanları farklı üsleri aynı ise; tabanlar çarpılır üslerden biri ortak üs olarak yazılır.

x, y Î R , n Î Z için   xn . yn = (x . y) n dir.

Örnek

299 . 599 = (2.5) 99  =  1099

27 . 37 . 57 = (2.3.S) 7 = 307   dir.

(a + b) 3 . (a - b) 3 = [ (a+b) (a-b) ] 3 = (a2 - b2) 3 Başka bir örnekte tersten de düşünürsek

42 X = (2.3.7) X = 2 X . 3 X . 7 X   olur.

Bir uslu sayının kuvvetinin kuvveti var ise aynı tabanda kuvvetler çarpılır.

x Î R ,   m, n Î Z için   (xn)m = (xm) n = xm.n dir.

Örnek

(53) 2x = 56x dir.

Bunun değişik versiyonlarını elde edebiliriz.

(53) 2x = (5 X)6 = (52) 3x = (56) X = (52X) 3 = (56x) gibi.

Örnek

Örnek

Üslü İfadelerde Bölme:

·    Tabanları aynı üsleri farklı olan üslü ifadeler bölünürken ortak taban, taban olarak alınır, üsler çıkarılıp üs olarak yazılır.

am  = am – n

an

Örnekler:

28  = 28-5 = 23 = 8

25

·    Tabanları farklı üsleri aynı üslü ifadeler bölünürken; tabanlar bölünüp taban olarak alınır. Ortak üs üs olarak yazılır.

Örnekler:

( 81 )4 = 34 = 81

  27

Örnek

·    Tabanları ve üsleri farklı olan üslü ifadeler bölünürken tabanlar bölünüp önce kuvvetler açılır sonra bölme işlemi yapılır.

ÜSLÜ DENKLEMLER:

Üssünde bilinmeyen bulunan denklemlere üslü denklemler denir.

1- Tabanları Eşit Olan Denklemler:

KURAL:

8 Tabanları eşit olan üslü denklemlerin üsleri de eşittir.

ÖRNEK/

1- 2x = 25 Þ x=5 tir.

2- 3x = 81 Þ 3x= 34 Þ x=4 tür.

3- 2x+8 = 8  olduğuna göre, x=?

2x+8 = 2x . 28 olup

2x . 28 = 8 yerine konur ise, burdan 8 = 23 olup

2x . 28 = 23

2x = 23¸ 28

2x = 23-8

2x =  2-5 olup burdan x = -5 bulunur.

ÖRNEK /

eşitliğini sağlayan x değerini bulalım.

ÇÖZÜM

5x+1-(2-x) = (53)x-3

5x+1-2+x= 53(x-3)

52x-1= 53x-9 (Tabanlar eşit olup üsler eşit olmalıdır.)

2x-1 = 3x-9

2x –3x = -9+1

-x = -8

x= 8

2- Üsleri eşit olan denklemler:

KURAL

8 Üsleri eşit olan denklemlerde üs tek sayı ise tabanları eşit, üs çift sayı ise tabanlar eşit yada biri diğerinin ters işaretlisine eşittir.

n tek sayı ve an = bn Þ a=b dir.

n çift sıyı ve an = bn Þ a=b  veya a = -b dir.

ÖRNEK

1- x3=53Þ x=5 tir.

2- (x+7)3=(3x-11)3  eşitliğini sağlayan x değerini bulalım.

Çözüm:

3=3 yani üsler eşit olduğundan tabanlarda eşit olmak zorundadır. Burdan,

(x+7) = (3x-11)  olup parantezleri açalım

x+7 = 3x-11

7+11= 3x-x

18 = 2x

x = 9

ÖRNEK

(2X+3)4= (X-2)4  eşitliğini sağlayan x değerlerini bulalım.

ÇÖZÜM

4çift sayı olduğu için

(2x+3)4= (X-2)4  Þ

2x+3= x-2  Veya  2x+3= -(x-2)

2x-x= -2-3 Veya  2x+3= -x+2

x=5      Veya   2x+x= 2-3

3x = -1

KURAL

8  xn = 1 şeklinde olan denklemler.

Bu tür denklemlerin çözümünde 3 durum vardır.

ÖRNEK

1- 18 = 1 dir. Çünkü 1 in tüm reel kuvvetleri 1 dir.

2- 50  = 1 dir. Çünkü 0 dışındaki tüm reel sayıların 0 ıncı kuvvetleri 1 dir.

3- (-1)6 = 1 dir. Çünkü (-1) in tüm çift kuvvetleri 1 dir.

4- 53x-15  = 1 ise x=?

Çözüm:

53x-15  = 1 ise

3x-15 = 0        olmalıdır,burdan

3x = 15

x = 15¸3

x = 5

ÖRNEK

(5x+3)7 = 1 ise x değerini hesaplayın.

ÇÖZÜM:

(5x+3)7 = 17 (17=1 olup ) Burdan bu eşitliğin tabanları eşit olmalıdır.

(5x+3) = 1

5x+3  = 1

5x = 1-3

5x = -2

ÖRNEK

(x+3)x-2= 1 eşitliğini sağlayan x değerini bulalım.

=2.2x

=21 . 2x

=21+x

Örnek: 92x – 3 = 27x –1 ise   x’i bulalım.

Çözüm: (32)2x – 3 = (33)x – 1

4x – 6 = 3x - 3

x =  3 bulunur.

ÇÖZÜM

5x+1-(2-x) = (53)x-3

5x+1-2+x= 53(x-3)

52x-1= 53x-9 (Tabanlar eşit olup üsler eşit olmalıdır.)

2x-1 = 3x-9

2x –3x = -9+1

-x = -8

x= 8

Çözüm

Örnek

73x-15 = 1  ise   x   nedir?

Çözüm

73x-15 = 1  =  7

3x-15 = 0

3x= 15

x = 5    olur.

2)

a) m tek ise; .x = y

b) m çift ise; x = + y   dır.

Örnek

Örnek

10’un Kuvvetleri

a) n Î N+ olmak üzere

10 n = 1 00... 0’dır.

10 n sayısında n tane sıfır vardır ve sayı (n + 1) basamaklıdır.

b) n Î N olmak üzere

10-n sayısında (bilgi yelpazesi.net) virgülün sağında (n-1) tane sıfır ve n tane rakam vardır.

Örnek

700000000 = 7.108 = 70.107 = 700.106   gibi değişik şekillerde yazılabilir.

0,00015=15.10-5=1,5.10-4=0,15.10-3=150.10-6 gibi değişik şekillerde de yazabiliriz.

Çözümlü Test

1. 3 X+1 - 5.3 X + 7.3 X + 3 X = 54 ise x kaçtır?

A) 2      B) 3          C) 4          D) 6          E) 8

Çözüm

3 X. 3 - 5.3 X + 7.3 X + 3 X = 54

(3-5 + 7 + 1).3 X = 54

6.3 X = 54

3 X = 9 = 32

x - 2   dir.

Cevap : A

Çözüm

3. 

işleminin sonucu nedir?

A) -4        B) -2        C) 2 D) 4          E) 5

Çözüm

Cevap : C

4.

işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm

5. 3.2 x+z + 4.2 x = 8 olduğuna göre x kaçtır?

A) 2         B)1          C) O         D)-1        E)-2

Çözüm

Cevap: D

6.

olduğuna göre  a.b  çarpımı kaçtır?

A) 12        B) 24       C) 36       D) 48       E) 60

Çözüm

Cevap :  D

7. (2-1 + 2°)-2. 32 işleminin sonucu kaçtır?

A) 2      B) 3          C) 4          D) 5          E) 6

Çözüm

Cevap: C

8.

Cevap : C

www.bilgiyelpazesi.com sitesinden alınmıştır.